2023年度公立高校入試過去問解説【青森県・数学・大問3】
目次
テーマ：空間図形と平面図形
問題文
次の（１）,（２）に答えなさい。
（1）
1辺の長さが8ｃｍの正方形の紙ABCDがある。次の図は、辺BC、CDの中点をそれぞれE,Fとし、線分AE,EF,FAで折ってできる三角錐の展開図である。
次のア、イに答えなさい。
ア：線分AEの長さを求めなさい。
イ：折ってできる三角錐について、次の（ア）、（イ）に答えなさい。
（ア）体積を求めなさい。
（イ）△AEFを底面としたときの高さを求めなさい。
（2）
次の図のように、作図ソフトで、正方形ABCDとDB＝DEの直角二等辺三角形DBEをかき、辺AB上に動く点Fを取る。また、線分DFを1辺とする正方形DFGHをかくと、点Hは辺CE上を動く点であることが分かった。辺BCと辺FGの交点をIとするとき、次のア、イに答えなさい。
ア
△DFBと△DHEが合同になることを次のように証明した。【あ】、【い】には式、【う】には適切な内容をそれぞれ書きなさい。
【証明】
△DFBと△DHEにおいて
△DBEは二等辺三角形だから
DB＝DE…①
四角形DFGHは正方形だから
【あ】…②
また、2つの直角三角形DAFとDCHにおいて
∠DAF＝∠DCH＝90°、DF＝DH、DA＝DCであるから、△DAF≡△DCH
したがって、∠ADF＝∠CDHであり
∠BDF＝45°－∠ADF、∠EDH＝45°－∠CDHであるから
【い】…③
①、②、③から
【う】がそれぞれ等しいので
△DFB≡△DHE
イ
AB＝5ｃｍ、CH＝2ｃｍのとき、△FBIの面積を求めなさい。
解答・解説
（1）
ア：4√5ｃｍ
△ABEに注目すると、直角三角形になることがわかり、三平方の定理から求まる。
イ：（ア）64/3ｃｍ³
△ECFを底面とすると、ABが高さになる。
4×4×1/2×8×1/3＝64/3
（イ）8/3ｃｍ
（ア）で求めた体積から逆算すれば求まる。
底面積AEFは正方形から△ABE、△ECF、△AFDの面積をそれぞれ引けば求まり
8×8－（8×4×1/2＋4×4×1/2＋8×4×1/2）＝24ｃｍ²
高さをhとすると
24×h×1/3＝64/3となるので、答えはh＝8/3
（2）
ア：【あ】DF＝DH 【い】∠BDF＝∠EDH 【う】2組の辺とその間の角
イ：9/5ｃｍ²
△FBIの面積を求めるためには、FBとBIの長さを求めればよい。
△DAF≡△DCHより、AF＝CH＝2ｃｍ
よって、FB＝5-2＝3ｃｍ
△FBI∽△DAFより、BI：AF＝FB：DA
よって、BI＝2×3/5＝6/5ｃｍ
求める面積は3×6/5×1/2＝9/5ｃｍ²
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