【中学3年生数学】相似な図形について学ぼう～その6～

こんにちは！夜に見ている人はこんばんは！家庭教師ひのきあすなろスタッフの百田（ももた）です。
前回に引き続き相似な図形について解説していきたいと思います。

今回は6回目。前回の復習から、面積比や体積比について学んでいきたいと思います。

形式としては1・2回目と5・6回目の基礎編で基本を学んでいき、3・4回目と7・8回目は実践編に移っていきますので、是非最後までお付き合いください！

文部科学省　学習指導要領「生きる力」
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

早速ですが、前回の復習をしていきましょう！！証明問題はたくさん解くに越したことはありません！

例題4：下の図でAB//EF//CDのとき、次の問いに答えなさい。

（1）△ABE∽△DCEを証明しなさい。また、AE：EDの比を求めなさい。
△ABEと△DCEにおいて
AB//CDより、錯角が等しくなるので、
∠ABE＝∠DCE・・・①
∠BAE＝∠CDE・・・②
①、②より2組の角がそれぞれ等しいので、△ABE∽△DCE

簡単ですね。対頂角を使っても証明できます。
AE：ED＝AB：DC＝3ｃｍ：6ｃｍ＝1：2

（2）ED：ADの比を求めなさい。
これも簡単ですね。
ED：AD＝ED：（AE+ED）＝2：（1+2）＝2：3

（3）EFの長さを求めなさい。
△DAB∽△DEFとなるので（証明は考えてみてください）
AB：EF＝DA：DE
⇔3ｃｍ：ＥＦ＝3：2
⇔3EF＝2×3
⇔EF＝2ｃｍ

要点4：相似な平面図形の周と面積

さて、復習は出来ましたでしょうか？
今回は面積比というものが出てきます。相似な2つの図形があったとき、この面積の比は相似比の2乗になるというものです。
問題を解いていきましょう！

例題5：△ＡＢＣにおいて、ＢＣ//ＤＥ、ＡＤ：ＤＢ＝2：1です。△ＡＢＣの面積が45ｃｍ²のとき、四角形ＤＢＣＥの面積を求めなさい。

△ABCと△ADEにおいて、BC//DEより、同位角は等しくなるので
∠ABC＝∠ADE・・・①
∠ACB＝∠AED・・・②
①、②より2組の角がそれぞれ等しいので、△ABC∽△ADE

よって、ＡＢ：ＡＤ＝（ＡＤ+ＤＢ）：ＡＤ＝3：2が相似比だと分かります。
四角形ＤＢＣＥの面積は△ＡＢＣの面積から△ＡＤＥの面積を引けば求まることが分かります。

ここで、面積比の登場です。
面積比は相似比の2乗となるので、
△ＡＢＣの面積：△ＡＤＥの面積＝3²：2²
⇔45ｃｍ²：△ＡＤＥの面積＝9：4
⇔△ＡＤＥの面積＝20ｃｍ²であると分かります。

よって、四角形ＤＢＣＥの面積は45-20＝25ｃｍ²と求めることができます。

要点5：相似な立体の表面積と体積

平面の面積比があれば、当然立体の体積比も存在します。
体積比は相似比の3乗になります。

例題6：相似な立体Ａ，Ｂがあり、相似比が1：3です。Ａの体積が8ｃｍ³のとき、Ｂの体積を求めなさい。

これはかなり簡単な問題ですね、ただの計算問題です。

立体Ａの体積：立体Ｂの体積＝1³：3³
⇔8ｃｍ³：立体Ｂの体積＝1：27
⇔立体Ｂの体積＝216ｃｍ³

いかがでしたでしょうか？？
このような感じで8回の記事を読めば、君も相似な図形マスターにきっとなることができるでしょう。
大事なのは「意外と簡単だ！」とか「分かると面白い！」と感じることです。数学だけでなく、全ての教科に精通します。
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