【中学3年生数学】因数分解について学ぼう～その2～

こんにちは！夜に見ている人はこんばんは！家庭教師ひのきあすなろスタッフの百田（ももた）です。
前回に引き続き因数分解について解説していきたいと思います。

 
第二回目の今回は前回学んだ因数分解を用いた応用問題に挑戦していきたいと思います。
第一回目の記事はコチラ。通し番号は前回からの続きになっています。

形式としては1回目と2回目の基礎編で基本を学んでいき、3回目と4回目は実践編に移っていきますので、是非最後までお付き合いください！

文部科学省　学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

要点3：式の計算の利用

今回は因数分解を用いた応用問題を解いていきたいと思います。簡単に前回の復習をしておきましょう。
因数分解とは「共通のものを前に出して（）でくくる」ことでした。これが基本です。
他に乗法公式を使うパターンがありましたね。乗法公式は3種類でしたが、因数分解の場合は2つを覚えておけばOKです。
①x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
②x²-a²=(x+a)(x-a)

それでは早速問題を解いていきましょう！

例題3：次の問いに答えなさい

（1）x=-6,y=3のときx²-6xy+9y²の値を求めなさい。
式の値でよく出てくる問題です。すぐに代入せずに式をよく見てみましょう。むむむ、こいつは因数分解が出来そうですね。乗法公式①を使ってみましょう。丁寧にやっていきます。
足して「-6」、掛けて「+9」になる組み合わせを探していきましょう。かけ算のパターンから見ていきます。
掛けて「+9」になる組み合わせは(1,9)(3,3)(-1,-9)(-3,-3)の4通りです。この中で足して「-6」になるのは(-3,-3)の組み合わせです。
ｘ²-6ｘｙ+9ｙ²
＝（ｘ-3ｙ）（ｘ-3ｙ）
＝（ｘ-3ｙ）²
と因数分解が出来ました。ここに代入していきましょう。
＝｛（－6）－3×3｝²
＝（－15）²
＝225

（2）x+y=13,x-y=7のとき、x²-y²の値を求めなさい。
これも同じように式をよく見てみましょう。これも因数分解ができますね。乗法公式の②が使えます。
ｘ²－ｙ²
＝（ｘ+ｙ）（ｘ-ｙ）
と因数分解が出来ました。与えられたものを代入していきましょう。
＝13×7
＝91
となりますね。
ここで、あえて因数分解を使わずに解いてみます。
x+y=13・・・①
x-y=7・・・②
とすると、①+②を行うと
2ｘ＝20
ｘ＝10となります、これを①に代入し
10+ｙ＝13
ｙ＝3となります。これで、ｘ、ｙの値が分かったので代入します。
ｘ²－ｙ²
＝（10）²－（3）²
＝100-9
＝91
同じになりましたね。

（3）次のa,bにあてはまる数を答えなさい。
x²+10x+a=(x+b)²
少し「？」となってしまう問題ですね。右辺を展開してみましょう。
（右辺）＝ｘ²+2ｂｘ+ｂ²
となります。これと左辺を見比べてみると、
10＝2ｂ、a＝ｂ²となることが分かります。
よって、ｂ＝5、a＝25と導くことができます。

要点4：式の利用

次は文章問題に挑戦していきたいと思います。前回紹介しましたが、文章題のコツは「ゴールを見つけること」です。
因数分解がどのように使われていくでしょう？？早速解いていきましょう。

例題4：連続した2つの偶数の平方の和は4の倍数であるが、8の倍数でないことを証明しなさい。

今回のゴールは「4の倍数であるが、8の倍数でないこと」です。つまり、4×○にはなるが、8×○にはならないという形を作れれば大丈夫です。
連続した偶数を表現するためには「2ｎ」と「2ｎ+2」とすればＯＫです。※偶数は2の倍数
この平方の和を考えていけばよいので、
（2ｎ）²+（2ｎ+2）²
＝4ｎ²+4ｎ²+8ｎ+4
＝8ｎ²+8ｎ+4
ここから因数分解をしていきます。共通でくくれるものは4なので
＝4（2ｎ²+2ｎ+1）
となります。これは4×○にはなるが、8×○にはならないので、証明完了です。

いかがでしたでしょうか？？
このような感じで4回の記事を読めば、君も因数分解マスターにきっとなることができるでしょう。
大事なのは「意外と簡単だ！」とか「分かると面白い！」と感じることです。数学だけでなく、全ての教科に精通します。
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