【中学2年生数学】図形の性質　実践編その②

今回は、【中学2年生数学】図形の性質　実践編その①に引き続き、「図形の性質」のについて解説していきます！
全4回にわたって解説をしてきた「図形の性質」も今回が最後になります。

不安な人は基本編へ戻って復習してみてくださいね。
基礎編と実践編の計4回にわたって解説していくので、是非、最後までお付き合いください。

やってみよう！図形の性質　その②

問1　下の図で、△ADBと△ACEが正三角形のとき、△ACD≡△AEBを証明しなさい。ただし、仮定と結論も書くこと。

問1　解答

Point！

2つの正三角形が接しているので、正三角形の辺が等しいことより、2辺の長さが等しいことがわかります。

間の角は、60°+共通の角（∠BAC）より等しい。

これで、2辺とその間の角がそれぞれ等しいことがわかりました。この内容を丁寧に書いていけばOK！

仮定）△ADBと△ACEは正三角形

結論）△ACD≡△AEB

証明）△ACDと△AEBで

△ADBと△ACEは正三角形より、

AD＝AB・・・①

AC＝AE・・・②

∠DAC＝60°+∠BAC

∠BAE＝60°+∠BACより、

∠DAC＝∠BAE・・・③

➀，②，③より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ACD≡△AEB

問2　下の図のように、▱ABCDの∠A，∠Bの二等分線と辺BC，ADとの交点をそれぞれE，Fとするとき、四角形ABEFはひし形になることを証明したい。次の文の【　】に適語を入れて、証明を完成しなさい。

四角形ABEFで∠ABF＝∠EBF，∠AFB＝∠EBFから∠ABF＝∠AFB

よって、AB＝【　】・・・①

同様にして、AB＝BE・・・②

➀，②よりAF＝【　】・・・③

またAF//BE・・・④

③，④より【　　】から

四角形ABEFは平行四辺形

よって、AB＝EF・・・⑤

➀，②，⑤よりAB＝BE＝EF＝AFとなり、

【　】から、四角形ABEFはひし形である。

問2　解答

Point！

ひし形になるための条件を用いて、四角形がひし形であることを証明します。

4辺が等しいことを示せばよいのですが、直接それを示すことは大変なので、まず、四角形ABEFが平行四辺形であることを示します。

ここでも、ひし形は平行四辺形の特別なものであることを確認しておきましょう。

AEとBFの交点をOとして、

△OAF≡△OAB≡△OEB

から、題意を証明することもできます。

△ABFは∠ABF＝∠AFBから、二等辺三角形であることがわかります。

四角形ABEFが平行四辺形であること、およびAB＝AFであることから、その4辺の長さが等しいことがわかります。

四角形ABEFで∠ABF＝∠EBF，∠AFB＝∠EBFから∠ABF＝∠AFB
よって、AB＝【AF】・・・①
同様にして、AB＝BE・・・②
➀，②よりAF＝【BE】・・・③
またAF//BE・・・④
③，④より【1組の対辺が平行でその長さが等しい】から
四角形ABEFは平行四辺形
よって、AB＝EF・・・⑤
➀，②，⑤よりAB＝BE＝EF＝AFとなり、
【4つの辺の長さが等しい】から、四角形ABEFはひし形である。

問3　正方形ABCDの辺上にE，F，G，Hの4点をAE＝BF＝CG＝DHとなるようにとります。このとき、四角形EFGHは正方形であることを証明したい。次の文の【　】に適語を記入し、証明を完成しなさい。

△AEHと△BFEにおいて
仮定よりAE＝【　】・・・①
AD＝ABよりAH＝【　】・・・②
∠HAE＝∠EBF・・・③
➀②③より【　】ので
△AEH≡△BFE
よってEH＝【　】
同様に△BEF≡△△CGF，△CGF≡△DHG，△DHG≡△AEH
よりFE＝GF＝HG＝EH・・・⑤
また△AEH≡△BFEより∠AEH+∠FEB＝90°なので
∠HEF＝90°
同様に∠EFG＝∠FGH＝【　】＝90°・・・⑥
⑤，⑥より【　　】ので
四角形EFGHは正方形である。

問3　解答

Point！

正方形になるための条件を用いて、四角形が正方形であることを証明します。そのためには、

（1）4つの辺が等しいこと

（2）4つの角が等しいこと

を示せばいいのですが、（1）については、4辺をふくむ直角三角形が合同であればよいということになります。

また、（2）については∠AEH＝∠BFEであることから、

∠AEH+∠FEB＝∠BFE+∠FEB＝90°を示せば、∠HEF＝90°であることがわかります。

同じ内容で証明するときには、繰り返して書かなくても「同様に」と書いて省略し、結論へと導きましょう！

△AEHと△BFEにおいて
仮定よりAE＝【BF】・・・①
AD＝ABよりAH＝【BE】・・・②
∠HAE＝∠EBF・・・③
➀②③より【2辺とその間の角がそれぞれ等しい】ので
△AEH≡△BFE
よってEH＝【FE】
同様に△BEF≡△△CGF，△CGF≡△DHG，△DHG≡△AEH
よりFE＝GF＝HG＝EH・・・⑤
また△AEH≡△BFEより∠AEH+∠FEB＝90°なので
∠HEF＝90°
同様に∠EFG＝∠FGH＝【∠GHE】＝90°・・・⑥
⑤，⑥より【4つの角が等しく、また4辺の長さが等しい】ので
四角形EFGHは正方形である。

最後までご覧いただきありがとうございました！
ぜひ参考にして、テストの点数アップに役立ててみてくださいね。

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