【中学3年生数学】相似な図形について学ぼう～その5～

こんにちは！夜に見ている人はこんばんは！家庭教師ひのきあすなろスタッフの百田（ももた）です。
前回に引き続き相似な図形について解説していきたいと思います。

今回は5回目。もう一度基礎編に戻ります。内容としては、「証明問題」に軸を置いて問題に触れていきたいと思います！
番号は最初の1～に戻ります。

形式としては1・2回目と5・6回目の基礎編で基本を学んでいき、3・4回目と7・8回目は実践編に移っていきますので、是非最後までお付き合いください！

文部科学省　学習指導要領「生きる力」
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

要点1：相似と証明

さて、ここから証明問題に入っていきます。
今までざっくりと解説の部分ではやってきましたが、実際に問題を解いていきましょう！

おさらいですが、相似条件は以下の3つです。
①3組の辺の比がすべて等しい。
②2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい。
③2組の角がそれぞれ等しい。

例題1：下の三角形について次の問いに答えなさい。

（1）AB：AC、AC：ADをそれぞれ最も簡単な整数の比で答えなさい。
これは証明云々ではなく、比で求めていくだけです。
AB：AC＝20ｃｍ：12ｃｍ＝5：3
AC：AD＝12ｃｍ：7.2ｃｍ＝5：3

（2）△ABC∽△ACDとなることを証明しなさい。
ここからが本題です。
共通な角と、前問で比に注目していたので、②2組の辺の比とその間の角が等しいを使いそうだなぁ。と推察できます。丁寧に回答を書いていきます。

△ABCと△ACDにおいて
∠Aは共通なので、∠BAC＝∠CAD・・・①
（1）より、AB：AC＝5：3・・・②
AC：AD＝5：3・・・③
①～③より、2組の辺の比とその間の角が等しいので
△ABC∽△ACD

このように書いていくことができます。引き続き練習をしていきましょう。

要点2：中点連結定理

中点連結定理という大層な名前がついていますが、1：1に分かれるというだけのことです。
気づきにくいことが多いので、「中点」という言葉が出てきたら、中点連結定理を使うことを思いつくようにしましょう。

例題2：下の図で、EF//BC、AE＝EB、BD＝CDのとき、次の問いに答えなさい。

（1）EF：BCの辺の比を求めなさい。
早速中点連結定理を使っていきますが。。。
折角なので、証明問題に変えちゃいましょう。
△ABC∽△AEFを証明していきます。

△ABCと△AEFについて
EF//BCより、同位角は等しいので、
∠ABC＝∠AEF・・・①
∠ACB＝∠AFE・・・②
①、②より2組の角がそれぞれ等しいので、△ABC∽△AEF

相似な図形は辺の比が同じになるので、EF：BC＝AE：AB＝1：2が答えになります。

（2）AB＝6ｃｍのとき、ＥＢの長さを求めなさい。
ＡＥ：ＡＢ＝1：2なので、ＡＥ＝6ｃｍ
ＡＥ＝ＥＢより、ＥＢ＝6ｃｍ

（3）ＥＨ＝8ｃｍのとき、ＢＣの長さを求めなさい。
ＥＨ＝ＨＦなので、ＥＦ＝16ｃｍ
ＥＦ：ＢＣ＝1：2なので、ＢＣ＝32ｃｍ

要点3：拡大と縮小

例題3：下の図は、四角形ABCDを点Oを中心に1/2に縮小し、四角形EFGHを作図したものです。次の問いに答えなさい。

（1）EF：ABの長さを求めなさい。
～その1～で説明した通り、相似とは拡大・縮小した図形の事です。
つまり、既に答えは問題文に書いてあります。
1/2に縮小したので、EF：AB＝1：2が答えとなります。

（2）四角形EFGHで、∠ABCと等しい角を答えなさい。
相似は角の大きさは変わりません。
よって、∠ABCと同じ大きさになる角度は∠EFGだと分かります。

いかがでしたでしょうか？？
このような感じで8回の記事を読めば、君も相似な図形マスターにきっとなることができるでしょう。
大事なのは「意外と簡単だ！」とか「分かると面白い！」と感じることです。数学だけでなく、全ての教科に精通します。
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