【中学2年生数学】連立方程式の利用　基本編その➀

今回は、前回に登場した連立方程式を実際に活用した文章問題になります。
実践問題に慣れておいて、周りと差をつけましょう！

基本編その①では代金や割合の問題を解説していきます。
基礎編と実践編の計4回にわたって解説していくので、是非、最後までお付き合いください。

文部科学省　学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

1．個数と値段、整数の問題

文章の内容からすぐ答えを求めるのではなく、まず式をつくることを考えるのがポイントです！

例えば、「A～Bの距離を求めなさい。」という問題では、距離を直接、求める距離＝速さ×時間の式にあてはめて考えるのではなく、AB間の距離をxとして、xを使って時間や速さの式を組み立てることを考えましょう。

算数の問題では聞かれていることを直接求めたが、方程式では聞かれていることをxとして、xを使った式をつくることを理解しましょう。

例題1

バラ2本とカーネーション6本とでは540円ですが、バラ3本とカーネーション4本とでは560円になります。バラとカーネーションの値段はそれぞれ1本いくらですか。 

まず代金の540円と560円に着目します。
代金540円は、バラ2本とカーネーション6本の値段の合計だから、1本の値段を、それぞれx,y円とすると、
2x+6y=560
となります。
代金560円は、バラ3本とカーネーション4本の値段の合計だから、
3x+4y=560
となります。
これを解くと、、、
2x+6y=540・・・①
3x+4y=560・・・②
➀×3-②×2
   6x+18y=1620
-)6x+8y=1120
　　10y=500
y=50・・・③
③を①へ代入
2x+300=540
2x=240
x=120
よって答えは、x=120, y=50

例題2

2けたの整数で、十の位と一の位の数の和は11、十の位と一の位の数を入れかえると、もとの数より63小さくなるとき、もとの整数を求めなさい。

十の位の数をx、一の位の数をyとすると、2けたの整数は　10x+y　と表せます。
例えば、34という整数は、3+4ではなく、30+4という整数になるからです。
つまり、3，4は位の数字であって、整数の大きさを表すときは、十の位の数は10倍、百の位の数は100倍しなければいけません！
入れかえた数は、もとの数より63小さくなります。これを式に表すと、（もとの数）－（入れかえた数）＝63と表すことができます。
これを解くと、、、
x+y=11・・・①
(10x+y)-(10y+x)=63・・・②
②のかっこをはずす
10x+y-10y-x=63
9x-9y=63・・・③
➀×9-③
   9x+9y=99
-)9x-9y=63
　  18y=36
y=2・・・④
④を①へ代入
x+2=11
x=9
x=9, y=2
よって答えは、92

注意！
10x+y=11としないこと！
10x+yは数の大きさを表しているので、各位の和が11だから、x+y=11となります。
例えば、35という整数ならば、30+5は数の大きさであり、各位の数の和は、3+5＝8になります。

2．人数の増減の問題

例題1

ある中学校の昨年度の生徒数は1000人でした。今年度は昨年度に比べて、男子は4％減り、女子は8％増えたため、全体で14人増えました。今年度の男子、女子の人数はそれぞれ何人ですか。

まず昨年度の男子をx人、女子をy人とします。

上記の表で考えて、昨年度の人数で表を作ると、、、
x+y=1000
今年度の人数で式をつくると、、、
0.96x+1.08y=1014

これを解くと
x+y=1000・・・①
0.96x+1.08y=1014・・・②
➀×96-②×100
96x+96y=96000
-)96x+108y=101400
　　　-12y=-5400
y=450・・・③
③を①へ代入
x+450=1000
x=550
x=550, y=450になる。

xとyの値は昨年度の人数だから、
今年度の男子は、550×0.96＝528（人）
今年度の女子は、450×1.08＝486（人）
よって答えは、男子528人，女子486人

例題2

ある中学校の今年度の生徒数は425人です。昨年度と比べると、男子は8％増え、女子は5％減ったため、全体で5人増えています。今年度の男子、女子の人数はそれぞれ何人ですか。

昨年度の男子をx人、女子をy人とすると、
x+y=425-5
1.08x+0.95y=425
これを解くと
x+y=425-5・・・①
1.08x+0.95y=425・・・②
➀×95-②×100
  95x+95y=39900
-)108x+95y=42500
　-13x　　=-2600
x=200・・・③
③を①へ代入
200+y=420
y=220
x=200, y=220

今年度は
200×1.08＝216
220×0.95＝209
よって答えは、男子216人，女子209人

注意！
この問題では、「今年度の男子、女子の人数は何人ですか」と聞かれているので、今年度の男子をx人、今年度の女子をy人として式を立ててしまうと計算が大変になってしまいます。例外的に、隠れた内容をx,yと決める必要があります。

最後までご覧いただきありがとうございました！
ぜひ参考にして、テストの点数アップに役立ててみてくださいね。

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