【中学3年生数学】多項式の計算について学ぼう～その1～ 

こんにちは！夜に見ている人はこんばんは！家庭教師ひのきあすなろスタッフの百田（ももた）です。

今回から多項式の計算について解説をしていきたいと思います！ここでは「乗法公式」というものが出てきます。
この「乗法公式」はこれからも出続けるのでしっかりと押さえていきましょう！！

 
繰り返しますが、今回のターゲットは「多項式の計算」です。全4回でお送りしていきたいと思います。
第一回目の今回は多項式の計算（2年生の復習）と乗法公式を解説していきたいと思います。

形式としては1回目と2回目の基礎編で基本を学んでいき、3回目と4回目は実践編に移っていきますので、是非最後までお付き合いください！

文部科学省　学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

要点1：多項式と単項式の乗除

中学校2年生の復習から始めていきましょう。
「単項式」と「多項式」、この二つの言葉を覚えていますか？
教科書的に説明をすると、項が一つだけのものが単項式、項が二つ以上のものが多項式と呼ばれます。
具体的に言うと、5ｘだけなら単項式、5ｘ+2と何かがくっつけば多項式となります。

計算は平方根の時と少し似ています。
乗除はそのまま計算をし、加減は同じ文字のみ計算ができます。この部分は問題ないと思います。

もう一つの計算のポイントは指数法則です。
ｘ²×ｘ³は肩の指数同士の足し算になるのでｘ⁵になります。公式で書くとｘ^m×ｘ^n＝ｘ^（ｍ+ｎ）です。
また、（ｘ²）³は肩の指数同士のかけ算になるのでｘ⁶になります。公式で書くと（ｘ^m）^n＝ｘ^（ｍ×ｎ）です。
割り算の時は肩の指数同士の引き算になりますので、ご参考までに。

それでは早速例題を解いて、中学校2年生時代を回顧していきましょう！

例題1：次の計算をしなさい

（1）4x(3x-6y)+24xy　（2）10x²-3x(2x-6y)
（3）(12a²b-6a)÷3a　（4）(6a³b²-3a)÷(-3a)
（5）(a+b)(c-d)　（6）(4a-5b)(5a-2b)

（1）分配法則を使って、解いていきましょう。
分配法則とはa(b+c)=ab+acのようにかっこの前をかっこの中にそれぞれかけ算をする事です。
4ｘ×3ｘ－4ｘ×6ｙ+24ｘｙ
＝12ｘ²－24ｘｙ+24ｘｙ
＝12ｘ²

（2）10ｘ²－3ｘ×2ｘ＋3ｘ×6ｙ
＝10ｘ²－6ｘ²＋18ｘｙ
＝4ｘ²+18ｘｙ

（3）割り算は逆数のかけ算に変更できます。例えば「÷2」と「×1/2」は同じ意味になります。多項式の計算は煩雑になりがちなので÷を×にして行っていくと楽です。
（12a²b－6a）×1/3a
＝4ab－2

（4）（6a³b²－3a）×（－1/3a）
＝－2a²b²＋1

（5）今回の分配法則は以下のようになります。
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
このようにそれぞれをかけ算していきます。
（a+b）（c-d）
＝ac－ad+bc－bd

（6）(4a-5b)(5a-2b)
＝4a×5a－4a×2b－5b×5a＋5b×2b
＝20a²－8ab－25ab＋10b²
＝20a²－33ab＋10b²

中学校2年生の復習は出来ましたか？
それでは次章は今回のメインディッシュ、乗法公式について学んでいきたいと思います。

要点2：乗法公式

さて、お待たせいたしました。乗法公式です。
中学校3年生数学のキング・オブ・公式と言っても過言ではない公式です。
大きく3つの公式があるのでしっかり覚えておきましょう！

①(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab
これのポイントはｘの項が和になり、定数項が積になるということです。
例えば、（ｘ+5）（ｘ-2）ならば、ｘの項は「+5-2＝+3」、定数項は「+5×（-2）＝－10」となるので、
答えはｘ²+3ｘ-10となります。

②(x+a)²=x²+2ax+a²
これのポイントは二乗・それぞれの積×2・二乗とサンドイッチになることです。僕はBLTが一番好きです。
例えば、（ｘ-7）²ならば、ｘの二乗・ｘ×（-7）×2・（-7）の二乗となるので、
答えはｘ²-14ｘ+49となります。

③(x+a)(x-a)=x²-a²
これのポイントはそれぞれの二乗をマイナスでつなぐということです。
例えば、（ｘ+9）（ｘ-9）ならば、ｘの二乗と9の二乗をマイナスでつなぐので、
答えはｘ²-81となります。

それでは例題で練習をしていきましょう！

例題2：次の各式を乗法公式を用いて展開しなさい。

（1）(x+4)(x+3)　（2）(x-6)(x+5)
（3）(x-6)(x-3)　（4）(a-5b)(a+3b)
（5）(x+5)²　（6）(x-3)²
（7）(x+2y)²　（8）(x-6y)²
（9）(a+7)(a-7) 　（10）(5a-3b)(5a+3b)

（1）～（4）は乗法公式①を使います。ｘの項が和になり、定数項が積になるということがポイントでしたね。
（1）ｘ²+（4+3）ｘ+3×4＝ｘ²+7ｘ+12
（2）ｘ²+（-6+5）ｘ+（-6）×5＝ｘ²-ｘ-30
（3）ｘ²+（-6-3）ｘ+（-6）×（-3）＝ｘ²-9ｘ+18
（4）a²+（-5+3）ab+（-5）×3b²＝a²-2ab-15b²

（5）～（8）は乗法公式②を使います。二乗・それぞれの積×2・二乗とサンドイッチになることがポイントでしたね。さて僕の好物は覚えていますか？？
（5）ｘ²+2×ｘ×5+5²＝ｘ²+10ｘ+25
（6）ｘ²-2×ｘ×3+（-3）²＝ｘ²-6ｘ+9
（7）ｘ²+2×ｘ×2ｙ+（2ｙ）²＝ｘ²+4ｘｙ+4ｙ²
（8）ｘ²-2×ｘ×6ｙ+（6ｙ）²＝ｘ²-12ｘｙ+36ｙ²

（9）,（10）は乗法公式③を使います。それぞれの二乗をマイナスでつなぐということがポイントでしたね。
（9）aの二乗と7の二乗をマイナスでつなぐので、a²－49
（10）5aの二乗と3bの二乗をマイナスでつなぐので、25a²－9b²

いかがでしたでしょうか？？
このような感じで4回の記事を読めば、君も多項式の計算マスターにきっとなることができるでしょう。
大事なのは「意外と簡単だ！」とか「分かると面白い！」と感じることです。数学だけでなく、全ての教科に精通します。
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