【中学3年生数学】因数分解について学ぼう～その1～

こんにちは！夜に見ている人はこんばんは！家庭教師ひのきあすなろスタッフの百田（ももた）です。
今回から因数分解について解説をしていきたいと思います！ここでも「乗法公式」が出てきます。
まさにキング・オブ・公式！！忘れてしまった方や、この記事から読み始めた方はコチラの記事をご覧になってください。

 繰り返しますが、今回のターゲットは「因数分解」です。全4回でお送りしていきたいと思います。
第一回目の今回は因数分解とは何ぞやといったところから解説していきたいと思います。

形式としては1回目と2回目の基礎編で基本を学んでいき、3回目と4回目は実践編に移っていきますので、是非最後までお付き合いください！

文部科学省　学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

要点1：因数分解

今回も始まりましたね。お題は「因数分解」。皆さんはどんな想像をしますか？？僕はこう、タピオカみたいな塊がチアシードみたいなツブツブに分解されてくイメージが湧きますね。語感的にはですけども。
実はこの因数分解、やり方は「分解」というよりも「まとめる」といった感じです。
具体的には共通のものでくくり、()の中に残りを閉じ込めます。
言葉で説明しても、分かり辛いと思うので実際に例題を解いてみましょう！

例題1：次の多項式の各項に共通な因数をかっこの外にくくり出しなさい

（1）ax-ay　（2）6mx-4my
（3）2ax²-6bx　（4）10x²y+15xy²
（5）ax-ay+2az　（6）2ab+4bc+8bd

（1）共通のものはaが共通なので、それを前に出して残りを（）の中に入れます。
a(x-y)
これで完成です。

（2）今回は少し共通のものが分かり辛いので、丁寧にやっていきます。
6ｍｘ－4ｍｙ
＝2×3×ｍ×ｘ－2×2×ｍ×ｙ
＝2ｍ（3ｘ－2ｙ）

（3）全問と同じように丁寧にやっていきます。
2ax²-6bx
＝2×a×ｘ×ｘ－2×3×b×ｘ
＝2ｘ（aｘ－3ｂ）

（4）今回の問題から少し省きながらやっていきます。
10x²y+15xy²
＝5ｘｙ（2ｘ+3ｙ）

（5）項が三つになっても同じです。共通のものを前に出してくくりましょう。
ax-ay+2az
＝a（ｘ－ｙ+2ｚ）

（6）前問と同様に解いていきましょう。
2ab+4bc+8bd
＝2ｂ（a+2ｃ+4ｄ）

このように共通のものを前に出してくくっていくのが因数分解です。
この後、乗法公式を使った因数分解をやっていきますが、基本は「共通するもので囲う」ということです。

要点2：公式を利用する因数分解

さて、キング・オブ・公式の再来です。確認していきましょう。
①(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab
②(x+a)²=x²+2ax+a²
③(x+a)(x-a)=x²-a²
この3つでしたね。これを左から右ではなく、右から左に見てみてください。
因数分解になっていることになっていることに気づきましたか？？

解説をしていきます。
①に関してはｘの項が足し算、定数項がかけ算になる組み合わせを選んで2つの数字を選べばＯＫです。
②に関しては2乗になってるなということが分かれば一瞬です。最悪①をやっていけば求まります。
③に関しては一番分かりやすいです。2乗－2乗の形を見つけたら和と差になると覚えておきましょう。 

それでは、例題を解いていきましょう！

例題2：次の各式を因数分解しなさい

（1）ｘ²+7ｘ+12　（2）ｘ²-9ｘ-36
（3）ｘ²+4ｘ+4　（4）ｘ²-10ｘ+25
（5）4ｘ²-ｙ²　（6）3ｘ²+12ｘ+9
（7）2ｘ²-16ｘ+32

（1）・（2）は乗法公式①を使います。ｘの項が足し算、定数項がかけ算になる組み合わせを選べばよいです。
（1）足して「+7」、掛けて「+12」になる組み合わせを探していきましょう。この時はかけ算のパターンから見ていきます。
掛けて「+12」になる数の組み合わせは(1,12)(2,6)(3,4)(-1,-12)(-2,-6)(-3,-4)の6通りです。この中で足して「+7」になるのは(3,4)の組み合わせです。
よって、ｘ²+7ｘ+12＝(x+3)(x+4)

（2）足して「-9」、掛けて「-36」になる組み合わせを探していきましょう。かけ算のパターンから見ていきます。
掛けて「-36」になる数の組み合わせは(1,-36)(2,-18)(3,-12)(4,-9)(9,-4)(12,-3)(18,-2)(36,-1)の8通りです。この中で足して「-9」になるのは(3,-12)の組み合わせです。
よって、ｘ²-9ｘ-36＝(x+3)(x-12)

（3）・（4）は乗法公式②を使いますが、①の練習のためにあえて①の方法で解いていきます。
（3）足して「+4」、掛けて「+4」になる組み合わせを探していきましょう。かけ算のパターンから見ていきます。
掛けて「+4」になる数の組み合わせは(1,4)(2,2)(-1,-4)(-2,-2)の4通りです。この中で足して「+4」になるのは(2,2)の組み合わせです。
よって、ｘ²+4ｘ+4＝(x+2)(x+2)=(x+2)²

（4）足して「-10」、掛けて「+25」になる組み合わせを探していきましょう。かけ算のパターンから見ていきます。
掛けて「+25」になる数の組み合わせは(1,25)(5,5)(-1,-25)(-5,-5)の4通りです。この中で足して「-10」になるのは(-5,-5)の組み合わせです。
よって、ｘ²-10ｘ+25＝(x-5)(x-5)＝(x-5)²

（5）は乗法公式③を使って解いていきます。
2乗－2乗の形なので、和と差になるように因数分解します。
4ｘ²-ｙ²　＝(2x+y)(2x-y)

（6）・（7）は共通のものでくくってから乗法公式を使っていきます。
（6）3ｘ²+12ｘ+9
＝3（ｘ²+4ｘ+3）
＝3（ｘ+1）（ｘ+3）

（7）2ｘ²-16ｘ+32
＝2（ｘ²-8ｘ+16）
＝2（ｘ-4）²

いかがでしたでしょうか？？
このような感じで4回の記事を読めば、君も因数分解マスターにきっとなることができるでしょう。
大事なのは「意外と簡単だ！」とか「分かると面白い！」と感じることです。数学だけでなく、全ての教科に精通します。
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