【中学3年生数学】三平方の定理について学ぼう～その3～

こんにちは！夜に見ている人はこんばんは！家庭教師ひのきあすなろスタッフの百田（ももた）です。
前回に引き続き三平方の定理について解説していきたいと思います。

今回から実践編に入っていきます。少し不安な方は第1回・第2回の記事も復習しておきましょう

形式としては1回目と2回目の基礎編で基本を学んでいき、3回目と4回目は実践編に移っていきますので、是非最後までお付き合いください！

文部科学省　学習指導要領「生きる力」
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

1：次の図のｘの長さを求めなさい。

（1）三平方の定理より
ｘ²＝4²+6²
⇔ｘ²＝52
ｘ＞0より
ｘ＝2√13ｃｍ

（2）三平方の定理より
ｘ²+3²＝10²
⇔ｘ²＝91
ｘ＞0より
ｘ＝√91ｃｍ

2：次の図形の面積を求めなさい。

両方とも高さが知りたいので、垂線（直角になるように引く線）を引いて求めていきます。
（1）横10ｃｍ、縦ｘｃｍになる長方形と、底辺5ｃｍ、高さｘｃｍになる直角三角形に分かれるように垂線を引きます。
直角三角形の部分に三平方の定理より、
ｘ²+5²＝13²
⇔ｘ²＝144
ｘ＞0より、ｘ＝12ｃｍ
よって、求めるべき面積は
10×12+5×12÷2＝150ｃｍ²

（2）二等辺三角形の頂角（てんこちょの角）からまっすぐ垂線をおろして、底辺9ｃｍ、高さｘｃｍの直角三角形2つに分かれるようにします。
直角三角形の部分に三平方の定理より、
ｘ²+9²＝15²
⇔ｘ²＝144
ｘ＞0より、ｘ＝12ｃｍ
よって、求めるべき面積は
18×12÷2＝108ｃｍ²

3：次の図は、正四角錐の展開図です。底面の1辺の長さは4ｃｍ、側面の二等辺三角形の等しい辺の長さは6ｃｍです。このとき、次の問いに答えなさい。

（1）この展開図を組み立てたときにできる正四角錐の高さは何ｃｍですか。
～その2～の例題と似ていますね。今回は一発で高さを出すことができます。
高さをｘｃｍとすると、三平方の定理より、
ｘ²+（2√2）²＝6²
⇔ｘ²＝28
ｘ＞0より、ｘ＝2√7ｃｍ

（2）この四角錐の体積を求めなさい。
これも簡単ですね。四角錐の体積は底面積×高さ÷3です。
4×4×2√7÷3＝32√7/3ｃｍ³
が答えとなります。

4：下の図のように、円Oに1辺の長さ6ｃｍの正三角形ＡＢＣが内接しています。また、ＡからＢＣにひいた垂線とＢＣとの交点をＨとするとき、次の問いに答えなさい。

今回初めて出てくるタイプの問題ですね。補助線を引くと分かりやすくなります。

（1）円Oの半径を求めよ。
補助線を引いた図を見た通り、1：2：√3の直角三角形ができます。
半径をｒとすると、
ｒ：3ｃｍ＝2：√3
⇔ｒ＝2√3ｃｍ
となります。

（2）△ＡＢＣの面積を求めなさい。
これも慣れたものだと思います。ＡＨの長さ、つまり高さが分かれば求められます。
△ＡＢＨにおいて、三平方の定理より、
ＡＨ²+3²＝6²
⇔ＡＨ²＝27
AH＞0より
AH＝3√3
よって、△ＡＢＣの面積は
6×3√3÷2＝9√3ｃｍ²
となります。

いかがでしたでしょうか？？
このような感じで4回の記事を読めば、君も三平方の定理マスターにきっとなることができるでしょう。
大事なのは「意外と簡単だ！」とか「分かると面白い！」と感じることです。数学だけでなく、全ての教科に精通します。
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